Bekannterweise ist einer der
größten Unterschiede von Skat zu anderen Denkspielen wie beispielsweise Schach
der, dass bei jedem Spiel eine andere Anfangskonstellation vorhanden ist.
Ein weit verbreiteter Irrtum ist
allerdings, dass die Anzahl dieser möglichen Kartenverteilungen am Anfang eines
jeden Skatspiels so hoch ist, dass vermutlich kein Spieler jemals zweimal die
gleiche Kartenverteilung erlebt.
Im folgenden wollen wir nun die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler zweimal die gleiche Kartenverteilung
erlebt, näher analysieren.
Die Anzahl aller möglicher
Kartenverteilungen beträgt:
2.753.294.408.504.640
Eine weitere Aussage, die im
Zusammenhang mit dieser Zahl gemacht wird, ist die folgende: "Ein Spieler müsste
insgesamt über eine Milliarde Jahre Skat spielen, um zweimal in den Genuss
derselben Kartenverteilung zu kommen."
Diese Aussage ist leider nicht
zutreffend. Tatsächlich bräuchte der Skatspieler so lange, um sämtliche
möglichen Kartenverteilungen durchzuspielen. Jedoch dürfte er bereits vorher
mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit zweimal auf dieselbe Kartenverteilung
gestoßen sein.
Wir versuchen nun, diese
Wahrscheinlichkeit in Zahlen auszudrücken.
Bezeichne p die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Skatspieler zweimal die gleiche Kartenverteilung
erhält. Damit ist q = 1 - p die Wahrscheinlichkeit, dass er
nicht zweimal die gleiche Kartenverteilung erhält. Es dürfte klar sein, dass
p mit steigender Anzahl von gespielten Spielen ansteigt (und q in
gleichem Maße abnimmt).
Diese Wahrscheinlichkeit beträgt
Wobei n die Anzahl
möglicher Kartenkombinationen (s.o.) und k die Anzahl gespielter Spiele
darstellt. Zur effizienteren Berechnung von q und zur Ermittlung von k
gibt es folgende Abschätzungen. Auf die Herleitung dieser Abschätzungen wird
ebenfalls verzichtet, der interessierte Skatfreund möge dem unten angeführten
Literaturhinweis nachgehen.
Für k errechnen wir nun
k = 40.714.229.
Somit erhalten wir für q
die Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder 50%! Somit ist die Wahrscheinlichkeit für
p natürlich ebenfalls 0,5.
Dies bedeutet:
Nach "nur" 40.714.229 Spielen hat der Spieler mit
einer Wahrscheinlichkeit von 50% zwei Spiele mit der gleichen Kartenverteilung
gespielt.
Also: Obwohl der Spieler "erst" 1
/ 70.000.000 (ein siebzigmillionstel) aller möglichen Spiele gespielt hat, hat
er mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit zwei der Spiele mit der gleichen
Kartenverteilung gespielt.
Um dies - wie oben geschehen - in
Jahren Spielzeit auszudrücken: Der Spieler müsste 15 Jahre lang (oben waren es
noch über eine Milliarde Jahre) ununterbrochen Skat spielen, um (mit hoher
Wahrscheinlichkeit) zweimal mit der gleichen Kartenverteilung zu spielen.
Für den mathematisch
interessierten Skatfreund sei erwähnt, dass dieses "Phänomen" als "Das
Geburtstagsparadox" bezeichnet wird (unter ca. 30 Leuten sind mit sehr hoher
Wahrscheinlichkeit zwei Personen, die am gleichen Tag Geburtstag haben).
Obwohl diese Zahlen natürlich
schon ganz anders aussehen als die Zahlen weiter oben im Text (15 anstatt einer
Milliarde Jahre), ist dieses Ergebnis natürlich stark idealisiert. Zum einen
müsste dieser Spieler 15 Jahre am Stück Skat spielen, Tag und Nacht, zum anderen
hat er selbst dann nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% tatsächlich
zweimal mit der gleichen Kartenverteilung gespielt.
Geht man nämlich davon aus, dass
ein sehr aktiver Skatspieler pro Woche 250 Spiele spielt (das entspricht ca. 5
Serien à 48 Spiele) und das zwischen seinem 20. und 80. Lebensjahr, so hat er
insgesamt 795.000 Spiele gespielt. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen
Spielen zwei Spiele mit der selben Kartenverteilung vorkommen, beträgt knapp
0,03% (verdoppelt er sein Pensum auf 500 Spiele/Woche beträgt die
Wahrscheinlichkeit immerhin über 0,1%).
Fazit:
Obwohl es tatsächlich äußerst unwahrscheinlich ist, dass ein Spieler in seinem
Leben zweimal mit der selben Kartenverteilung spielt, ist es doch nicht so
unwahrscheinlich, wie oftmals behauptet wird.
Skatfuchs 
